1994 年，前 Salomon Brothers 債券交易主管 John Meriwether 創立長期資本管理公司(LTCM)，合夥人裡有兩位諾貝爾經濟學獎得主——Myron Scholes 與 Robert Merton,還有前聯儲會副主席 David Mullins。這是金融史上智力密度最高的一支團隊，沒有之一。
他們的核心交易叫國債收斂套利 : 同樣是美國國債，「新發行」與「舊發行」)之間有一個微小價差。LTCM 買便宜的舊券、沽貴的新券，賭這個價差最終收斂。 這個策略本身非常漂亮 : 市場中性、不賭利率方向、數學上極度紮實。頭三年，他們幾乎把市場寫成了自己的證明題。
四年後，他們破產了。
1998 年，LTCM在短短幾個月內虧掉約 46 億美元，由於部位太大，牽連甚廣，最後逼得聯準會召集 14 家大銀行夾錢，才收拾乾淨。
連發明期權定價模型的諾貝爾獎得主，都會輸到要全世界出手收尾，問題到底出在哪？
一、對的策略，錯的倉位
策略本身並沒有錯——價差最後確實如他們所料地收斂了，連巴菲特當時都想把那批部位接手過來。看得準、策略也對，為什麼還會連人帶車撞毀？答案是兩個字：倉位。
這套策略的單筆利潤只有 10 到 15 個基點，為了提高回報，他們用了極高的槓桿。1998 年俄羅斯國債違約，價差短暫反向擴大，高槓桿迅速吞噬了所有本金。他們撐不到策略被證明是對的那天，就已經被清洗出局。
看得準的策略，他們有；撐到最後的本錢，他們沒有。所以問題不在「看不看得準」，而在於「這一注，該押多重？」
押太輕，對了也賺不到；押太重，一次逆風就把你洗出場。那一注到底該押多少，有沒有精確答案？
二、凱利公式
解掉「該下多大注」的，是 Kelly Criterion（凱利公式）。1956 年，貝爾實驗室一位研究訊號雜訊的物理學家 John Kelly 推導出來。隨後由數學家 Edward Thorp 把這條公式帶上 21 點賭桌，再帶進華爾街。
Thorp 旗下的對沖基金二十年年化回報 ~ 20%，幾乎沒有一個虧損年份。
它要解的問題跟「期望值最大化」(Maximize Expected Gain) 不一樣。若只追求單次賺最多，數學會叫你 all-in；但只要輸一次，你就歸零。Kelly 要解決的是「長期複利後的財富增長最快」，因此它天生把「避免破產」視為第一要務：優勢越大下越多，但永遠留住本金。公式如下：
其中 p 是勝率（conviction），b 是賠率（贏賺幾倍 ÷ 輸蝕幾倍）。它告訴你單一注該押資金的百分之幾。
把 OXY 代進去。2020 年疫情油價暴跌，我的判斷是約 10 美元進場、看 80 美元——賭贏，本金翻約 7 倍（賺 +7.0）；賭輸，最壞是公司破產、本金全沒（蝕 −1.0）。勝率我給到 9 成。
先算賠率 b——贏能賺多少倍 ÷ 輸會蝕多少倍：
再把勝率 p = 0.90、b = 7 代進 Kelly：
把帳戶的 89% 壓在單一隻股票上？好像有點不妥。
問題不在公式——Kelly 算得分毫不差。問題在我餵進去的那個 9 成。公式有多準，取決於你給的勝率有多準；而勝率不是市場報給你的客觀數字，是我自己拍腦袋估出來的。人對自己的判斷，幾乎永遠偏樂觀：我以為的 9 成，真實也許只有 7 成。Kelly 忠實地照單全收，把我那份過度自信，原封不動放大成一個過重的倉位。
所以 Thorp 不會直接用算出來的數字，而是把它打對折（half-Kelly）。這不是不信任公式，而是替「我沒有自己以為的那麼準」留一道緩衝。打完折，OXY 的注碼從 89% 收斂到約 44%——還是重倉，但留了犯錯的餘地。
三、分散即Alpha
然而，你有信心的股票可能不止一隻。假設帳戶有 100 萬美元，假設你看好以下八檔股票，每檔估出賺幾倍、蝕幾倍、以及 conviction，逐一代進 Kelly 再打對折（half-Kelly），得出這張名單：
註：僅為示範，不是投資建議
你大概一眼就看出問題了：八個 half-Kelly 加起來接近 300%，意味著照單全收等於開了近三倍槓桿。光靠 Kelly 一條公式，你只會得出一個必爆倉的瘋狂組合。
那應該怎麼辦 ? 是不是應該挑賠率最高的那一兩隻——例如 OXY——然後 all in，其餘統統不要？火力集中，回報豈不是最大？
這個念頭，正是價值投資圈吵了幾十年的老問題——集中，還是分散？
最常被搬出來替「集中」背書的，是巴菲特。「找到一家好公司就重押、長期持有」幾乎成了信條。但有趣的是，巴菲特自己回報最驚人的那段日子，紀錄卻說了另一個故事。
Buffett Partnership 年代（1957–1968），年化回報約 31.6%、十二年無一虧損年，把同期年化僅約 9.1% 的道指遠遠甩在後面——而那段傳奇回報，靠的根本不是重倉。1961 年底，他的組合裡有十五到二十個持倉：核心的「generals」也只有五六隻押到 5%–10%，後面還跟著十多隻小倉，外加一批套利型的 workouts。
另外，他刻意把資金分到三個彼此、以及與大市都低相關的籃子——generals、workouts、controls——好讓一個籃子失手時，另外兩個頂得住；其中 workouts 幾乎不跟大盤連動。
換句話說，真正創造那段傳奇回報的，是一籃子彼此分散、低相關的賭注。
在 102 : 北極星，我們討論到，做投資研究的終極目的，是極大化 Return / Risk（風險調整後回報）。多數人只顧極大化分子（Return），卻忘了算式的另一半——把分母（風險）做小。而縮小分母最強的武器，就是分散。
量化巨頭 Richard Grinold 與 Ronald Kahn 在《Active Portfolio Management》把這件事寫成了一條公式：
IR（Information Ration 資訊比率）：每承擔一單位風險，換來多少超額報酬。
IC（Information Coefficient 資訊係數）：你選股的準確度。
BR（Breath 廣度）：你下了多少個賭注。
選股能力（IC）不變，只要把賭注的數目堆上去，風險調整後的回報就會往上爬。Buffett Partnership 那一籃子分散的持倉，正是 √BR 在起作用——這也解釋了，為什麼他持股那麼多，超額回報仍然驚人。
對於真正有優越選股能力的投資者 ( IC 資訊係數為正 ) 來說，分散不是「為求安全、犧牲回報」的妥協，而是在創造 alpha——統計學上有顯著意義的 alpha。
但道理講通，落到帳戶上，這仍是一道未解的算術題：手上這八隻，每一隻到底該佔幾多 percent？
四、找出重複的賭注
Grinold-Kahn 公式，藏著一個關鍵的字眼：√BR 裡的 BR，數的不是「賭注的數目」，而是彼此獨立的賭注的數目。
所謂獨立，是指輸贏由完全不同的原因驅動——一個押對、另一個押錯，機率互不影響。反過來，如果兩隻股票每次都一起漲、一起跌，那它們表面是兩個賭注，骨子裡只是同一個賭注下了兩次，對 BR 毫無貢獻。
舉個最直白的例子：三星與 SK 海力士。名義上是兩家公司，但都是記憶體晶片廠，景氣好時回報一起往上、回調時一起往下；同時放進倉位，等於同一個方向押了兩次。
而 Kelly 對這件事一無所知。它逐一回答的，是「這一隻股票，單獨來看，該下多重？」——從來不會問你：手上另外七隻，跟它是不是其實在講同一個故事。
所以之後要做的事，是先分清楚這八隻裡面，哪些是獨立的賭注，哪些只是重複的賭注。要分清楚，就得先有一把尺，量出兩隻股票到底有多像。
這把尺，統計學上叫做相關性（correlation）。
它是一個介乎 −1 到 +1 的數字。+1 是貼身雙胞胎，齊升齊跌；0 是各行各路，互不相干；−1 是天生對手，一個漲、另一個必跌。它量的不是「同不同行」或「感覺會不會一起動」，而是拉兩隻股票過去的回報數據來對比——數字越接近 +1，名義上的兩隻股票，方向上就越是同一個賭注。
把每一對的回報相關性，整理成一張相關性矩陣（Correlation Matrix）。矩陣的每一格，就是該對股票歷史回報的相關性數字：
註：數字僅為示範。對角線恆為 1.00，代表自己與自己完全相關。
阿里對騰訊是 0.75，同為中概股，方向高度一致
三星與 SK 海力士高達 0.82——同一條記憶體景氣循環，齊升齊跌，是表裡最貼身的一對雙胞胎
NVDA 對它們也有 0.43–0.45，同為AI 股票連動。
相對地，OXY（油價驅動）對其他七隻的相關性都壓在 0.05–0.10 之間，是名單裡最極端的獨行俠
UNH 與 KO 則自成一個低相關的防守角落（彼此 0.30，與科技、中概都很疏遠）。
現在我們手上有兩組數字：第三節那張原始名單的 half-Kelly（每隻單獨的下注強度），以及這張記錄誰跟誰齊升齊跌的相關性矩陣。那麼，我們怎樣把兩者合成最終的權重？
獨立加碼 | 重複打折
答案是逆矩陣：
μ 是每隻股票的預期超額回報（對應你算 Kelly 時的看好程度），Σ 是回報的協方差矩陣（相關性矩陣的有量綱版本），而 Σ⁻¹ 就是它的逆矩陣。
關鍵在 Σ⁻¹ 這一步。直接看 μ，每隻股票都是獨立的看好程度；乘上逆矩陣後，公式會自動做兩件事：
替重複的賭注「打折」。 三星、SK 海力士、NVDA 的 half-Kelly 都有 34～37%，但因為彼此高度相關（尤其三星／海力士 0.82），逆矩陣察覺它們大半時間在講同一個故事，於是把三隻一起往下壓——避免你為同一個賭注付了兩次、三次錢。
替獨立的賭注「加碼」。 OXY 跟誰都不齊動，逆矩陣判斷它能真正降低組合波動，於是把權重往上推。
用一個最乾淨的兩股例子感受一下。假設兩隻看好程度一模一樣，相關性為 ρ。手算逆矩陣會得出，各自的權重會被乘上一個係數：
當 ρ = 0（完全獨立），係數是 1，不打折；當 ρ = 0.75（像阿里、騰訊），係數跌到約 0.57，兩隻同時被砍掉四成多；當 ρ 趨近 1（像三星與 SK 海力士），係數趨近 0.5，等於系統強迫你把「兩注」當「一注」來下。
把這套邏輯套回我們那八隻股票：
數字僅為示範。
原本八隻 half-Kelly 都擠在 34～45% 之間、難分高下；經逆矩陣一處理，記憶體三兄弟（三星、海力士、NVDA）被壓到個位數，中概雙胞胎（騰訊、阿里）也被砍掉一半，而真正的獨行俠 OXY 幾乎原封不動。八張看似平起平坐的成績單，第一次排出了真實的輕重——重複的賭注退到後排，獨立的賭注浮上前排。曝險也從 291.5% 自動收斂到 135.2%。
逆矩陣在數學上執行一條我們同意的規則：越多重複的賭注，每注越要縮水；越獨立的賭注，越值得加重。 但它調好的只是相對比例，總量還是這過了 100% ——這就要靠最後兩步。
五、收口
逆矩陣解決了「誰重誰輕」，卻沒解決「加起來是多少」——上一節那 143.0%，仍帶著近 1.4 倍槓桿。
正規化（Normalization）做的就是這一步校正：把每隻股票的權重，同除以總和，按原本比例縮放到加總剛好 100%。
替主表再加一欄——正規化後的權重：
正規化只縮總量，不動排序。 OXY 居前、阿里墊底的相對格局完全保留，整批等比例收進「總曝險 100%」。
到這裡，你已經有了一個不帶槓桿、相對輕重也調好的組合。看起來可以下單了——但還差最後一道保險。
六、封頂
2006 年，一間標榜「多策略分散」 的對沖基金Amaranth Advisors 規模一度逾 90 億美元。但它的明星交易員把資金愈押愈集中，重注賭天然氣期貨會在冬季上漲。結果氣價不升反跌，短短數週內虧損逾 60 億美元、資產折損逾六成，創下當時最大的對沖基金崩盤紀錄，隨即清盤。
「告訴我會死在哪裡，這樣我就永遠不去那裡。」- Charlie Munger
敢重押與懂避險本是一體兩面——敢揮棒，是因為早已確認這一棒揮空了也死不了。Amaranth 只顧揮棒，卻沒先圈出自己會死在哪，於是把分散的招牌，押成一場它無法承受的風險。
而這個「死在哪裡」的陷阱，往往藏在你最有把握的那一注裡。你餵進凱利公式的賺幾倍、勝率，全是估計值；一旦你對某一隻過度樂觀，剛好又有獨立性，凱利公式和逆矩陣就會替它一路加碼，把它推到組合的最前排，甚至超過你能承受的極限。這正是 Charlie Munger 口中「永遠不該去的地方」。
單一持倉上限，就是替你把那個地方圈起來的一條線。
回看上一節那張表：正規化後 OXY 已佔 27.8%，因為它賠率極高、又跟誰都不相關，逆矩陣一路替它加碼；哪天你看好的標的變少，這個數字還會更高。
要解決這個問題，做法很簡單：設一條硬上限（例如任何單一持倉不超過 25%），超過的削回 25%，把削出來的額度按比例分給其餘股票，再重新正規化一次。
我們替同一張主表補上最後一欄——加 25% 上限後的權重：
數字僅為示範。
OXY 由 27.8% 削回 25%，多出來的按比例分回其餘七隻，總曝險仍是 100%。
那麼，這條線該畫在哪？25%、還是 33%？這沒有標準答案，只是一個取捨：
上限收得越緊（如 20%–25%）：單一股票踩雷，傷害越小，組合越穩；代價是，就算你對某一注的把握遠高於其餘，系統也不准你押得更重——你主動放棄了一部分本該屬於你的 alpha。
上限放得越鬆（如 33% 以上）：你最有把握的那一注能押得更盡、賺得更多；代價是，一旦那一注正好是你估錯的，傷口也按同樣比例放大。
換句話說，上限調的不是「穩不穩」，而是你願意為「集中下注的回報」承受多大的「集中失手的風險」。25% 等於最多三四隻撐起整個組合，是穩健派的常見起點；越往上，你就越接近那條沒設防的路。
七、複利機器
看得準，只能讓你贏一把。
活得夠久，才讓複利替你贏下半生。
LTCM，有最聰明的腦、最完美的套利、兩座諾貝爾獎。
他們沒有的，是活到複利替他們做事的那一天。
90s PM Investing 股票分析流程 101 - 107 要做的事——
不只在於拼一籃子好股票，
而是在組裝一台轉得夠穩、轉得夠久的複利機器。
不追求單季跑最快。
只確保：無論市場如何顛簸，這台機器明年、十年後，都還在轉。
因為真正的財富，從來不是一次看得最準的人賺走的。
是那台一直在轉、從不熄火的機器，替它的主人慢慢滾出來的。
會員專享: Portfolio Calculator
讀完整個流程，如果要自己親手算一次，想想也會覺得頭大。
所以我做了一個 Portfolio Calculator，把這篇講的四個步驟——Kelly 算注碼、逆矩陣拆相關性、正規化收口、單一持倉封頂——全部包進一個介面：你只需要輸入每隻股票的勝率、賺賠倍數，再填上它們之間的相關性，計算機就會自動替你跑完整條數鏈，吐出最終那一欄可以直接落單的權重。
不用再開 Excel、不用自己手拗逆矩陣，把這篇的邏輯套到你真正的組合上即可。
👉 https://drawtree.capital/portfolio
（提醒：計算機的輸出同樣建立在你自己輸入的勝率與賠率之上——記住第二節那句，公式只會忠實放大你的判斷，所以 garbage in, garbage out，先誠實估計，再交給數學。）
