1. Random variable（隨機變數）
「這個策略過去五年年化 18%」可不可以當成對未來的期望？要答這條問題，先要分清 random variable 和已實現的數據。
Random variable 定義：
它是一個數值
觀測之前結果未定，可以用機率描述。
不需要來自骰子、硬幣這類人造的機會裝置，不需要是整數，也不需要「夠科學」。明日氣溫、明日 S&P 500 回報、下一季出貨量、明年租金，全部都是 random variable。
相反，已經發生的，不是 random variable。「上週一的氣溫」已經實現（realization），變成一個觀測值（observation），並不是一個 random variable。
所以：
Random variable：對未來的機率陳述，有一整個範圍的可能性
Realization：已發生的一次抽樣（sample）結果，只是一個數字
歷史數據全部屬於後者。年化回報、最大回撤這些由歷史算出來的統計量（statistic），都是「這一次抽樣」的結果。
凡是未觀測、可用機率描述的數值都是 random variable；已發生的只是 realization。
練習 1 以下哪一項是 random variable？
(a) 你的策略在 2015–2024 年回測的 max drawdown
(b) 恒生指數昨日的收市價
(c) 你的策略下一年的回報
(d) 上一季公佈的 GDP 增長率
答案：(c)。只有下一年的回報尚未觀測。其餘三項已經發生，是 realization。留意 (a)：回測結果是策略在歷史這一次抽樣上的表現，歷史只跑了一次，所以它同樣是數據點，不是機率陳述。
2. Continuous variable（連續變數）
「目標價 185 元」為什麼不足以決定注碼和風險？因為這個陳述在數學上並不成立。
離散變數（discrete variable）可以問單點，例如 P(骰子擲出 3) = 1/6 。
相反，連續變數（continuous variable）不行：0 到 1 之間有無限多個點，任何一個特定點的機率是 1 ÷ ∞ = 0。股價就是其中一種continuous variable 。「明日股價剛好等於185.00000…」的機率是零。非常不專業。
所以連續變數只能問區間（interval），不能問點。有意義的陳述形式是「落在 a 到 b 之間的機率是多少」。
另外，點值它不帶離散度（dispersion）。「185」沒有講明是「多半落在 180 至 190」還是「可能 120、也可能 260」。兩種情況中心點相同，含義完全不同，注碼和 stop loss 的設法也完全不同。
對 continuous variable，只有區間陳述才有機率內容。
練習 2 以下哪一句對 continuous variable 是有意義的機率陳述？
(a) 「明日回報剛好等於 +0.5% 的機率是 3%」
(b) 「明日回報高於 +0.5% 的機率是 30%」
(c) 「density 在 +0.5% 處等於 3，所以該點機率是 300%」
(d) 「目標價 185 元，命中機率 5%」
答案：(b)。「高於 +0.5%」是一個區間，有機率內容。(a)(d) 是單點陳述，機率為零；(c) 把 density 當成了機率，第 4 節會講這個錯。
3. CDF（cumulative distribution function，累積分佈函數）
「估值處於歷史第 85 percentile」「這個 stop loss 多久觸發一次」，這類問題全部需要用 CDF。
想像一條極長的走廊，地上鋪滿沙，有些位置厚，有些薄，兩端遠處幾乎沒有。全世界只有一桶沙，全部倒在這條走廊上。沙的分佈，就是機率的分佈。
CDF 的定義：拿掃把從走廊最左邊掃到 x，F(x) 就是袋裡累積的沙量。由此得到三個性質：
F(−∞) = 0（一粒未掃）F(+∞) = 1（整桶掃完）F單調遞增（monotonically increasing，袋裡的沙只增不減）。
所以，若果我們需要找某一段區間（Interval）的概念，只需要把右邊減去左邊就可
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a)掃到 b 的量，減掃到 a 的量，左邊重複掃過的部分自己抵銷。有了 CDF，任何區間機率都是一次減法，不用積分。
例：回報落在 ±1 個標準差（standard deviation）之間的機率是 0.8413 − 0.1587 = 0.6827。統計學常背的「一個標準差涵蓋 68%」就是由此推導。
Percentile（百分位）就是 CDF 的讀數：「處於第 85 percentile」即 F(x) = 0.85。
CDF 把所有區間機率變成一次減法；percentile 就是
F的讀數。
練習 3 已知某股票單日回報的 F(−5%) = 0.08、F(+5%) = 0.90。回報落在 −5% 至 +5% 之間的機率是？
(a) 0.90
(b) 0.98
(c) 0.82
(d) 0.72
答案：(c)。0.90 − 0.08 = 0.82。答 (a) 的話漏了減去左邊；(b) 錯在把兩個數相加。
4. Density（probability density，機率密度）
分佈圖的Y軸就是 density。讀錯它有兩個常見後果：把 density 當機率，或者見到 density 大於 1 就以為圖畫錯了。
Density p(x) 是走廊第 x 點的沙有多厚。厚度不是沙量；某段的沙量要用厚度乘寬度：
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a→b] p(x) dx符號意思:
p(x): 厚度dx:一小段寬度p(x) dx這一小段的沙量∫[a→b]由a到b全部加起來（∫ 是拉長的 S，S = Sum）
這也解釋了第 2 節：單點的寬度是 0，厚度再高，乘 0 都是 0。
Density 和 CDF 是一對相反的操作：
p(x) = dF(x)/dx厚度等於掃把袋增重的速度。
積分（integration）把厚度累積成總量，微分（differentiation）把總量還原成厚度。
至於 density 大於 1：完全合法。Uniform distribution 在 [0, 0.1] 上的 density 是 10。Density 是「每單位寬度的機率」，不是機率本身，受限制的是整條的積分要等於 1，不是任何一點的高度。
density 乘寬度才是機率；density 本身可以大於 1。
練習 4 某連續分佈在 x = 0 處的 density 是 2.5。可以得出什麼結論？
(a) 這個分佈不合法，因為機率不能超過 1
(b)
P(X = 0) = 250%(c) 只要整條 density 積分等於 1，這完全合法
(d) 這個變數其實是 discrete variable
答案：(c)。(a) 和 (b) 是同一個誤讀：把每單位寬度的機率當成了機率。
5. 合法分佈的兩條規則
由賠率或 option 價格反推的「市場機率」，加起來永遠不是 100%。知道規則，才知道多出來的那截是什麼。
概率只有兩條規則：
非負（non-negative），沒有負機率
總和為 1，Discrete Variable 加總為 1，Continuous variable 積分為 1
一條可以手算的檢查題：p(x) = x² 在 [0, 1] 上合法嗎？非負，但 ∫[0→1] x² dx = 1/3，只倒了三分之一桶沙，不合法。（手算微積分，沒有忘記吧？）
實際應用在賠率上。一組足球賠率（歐洲小數制）：主勝 1.90、和 3.50、客勝 3.80。賠率的倒數是 implied probability（隱含機率）：
總和大於 1，違反規則二。多出的 7.52% 不是機率，是莊家的利潤；業界叫這個總和做 booksum，超出 1 的部分叫 overround。想還原市場的看法，把每項除以 1.0752，加總就回到 100%。
這不只適用於賭盤。任何由市場價格反推的「機率」（option、prediction market、credit spread）都混有成本和風險溢價（risk premium），加總不會是 1。不先 normalize 就拿來用，等於把莊家的利潤當成自己的優勢。
機率加總必須為 1；市場報價反推的「機率」加總大於 1，多出的部分是成本，不是資訊。
練習 5 某賽事三個結果的 implied probability 加總為 108%，其中一個結果的 implied probability 是 54%。它的公平機率（fair probability）是？
(a) 54%
(b) 50%
(c) 46%
(d) 58.3%
答案：(b)。54% ÷ 1.08 = 50%。
6. Inverse transform sampling
backtest 只有一條歷史。想知道策略在另外一萬條「本來也有可能發生」的歷史裡表現如何，就要自己生成一萬條模擬的價格路徑，這就是Monte Carlo simulation（蒙地卡羅模擬），是量化研究測試策略穩健性的基本工具。生成路徑要用到隨機數，而這一節講的就是：電腦只會出一種最單調的隨機數，怎樣把它變成任何想要的分佈。
手機遊戲的抽卡機制通常是這樣：90% 出普通卡，10% 出稀有卡。電腦怎樣實現？
電腦最容易生成的隨機數只有一種：0 到 1 之間的 uniform random number（均勻隨機數），記作 u，0 到 1 之間每個位置出現的機會完全一樣。遊戲公司的寫法是：
抽到
u < 0.90，派普通卡抽到
u ≥ 0.90，派稀有卡
0 至 0.9 這一段佔了整條線的九成，所以九成的 u 會落在裡面。就這麼簡單：在 0 到 1 的線上切段，段有多長，機率就有多大。
三種卡也一樣。60% 普通、30% 稀有、10% 傳說，就切在 0.60 和 0.90 兩個位置：u 落在 0 至 0.60 派普通，0.60 至 0.90 派稀有，0.90 至 1 派傳說。
留意那兩個切點是怎樣來的：0.60 是第一種卡的機率，0.90 是頭兩種卡的機率加起來。切點就是累積機率。而「累積機率」正是第 3 節的 CDF。遊戲公司一直在做的事，就是「拿一個 0 到 1 的隨機數，去 CDF 反查它屬於哪個結果」。
什麼是反函數（inverse function）
第 3 節的 F(x) 是一部機器：放入一個位置 x，它吐出一個沙量。「掃到 20.09 元這點，袋裡有 0.4 桶」，就是 F(20.09) = 0.4。
反函數就是同一部機器倒轉用：放入一個沙量，它吐出一個位置。「哪個位置掃到 0.4 桶？」答「20.09 元」。
日常生活裡到處都是這種倒轉查。電話簿由名字查號碼，來電顯示由號碼查名字，同一本簿，兩個方向。匯率表由港幣查美元，也可以由美元查港幣。馬拉松成績表由名字查完賽時間，也可以由「第 100 名」反查那人跑了多久。
倒轉用的 F 記作 F⁻¹。那個「−1」只是「反過來查」的記號，不是負一次方，不是 1 除以 F。F⁻¹(0.4) 讀作：「掃到 0.4 桶沙的位置在哪裡？」
連續版本：把 u 讀成沙量
抽卡是離散（Discrete Variable) ，只有兩三種結果。股價回報是連續 (Continuous Variable) ，結果有無限多個，但方法完全一樣，只是「切段」變成了「掃沙」。
抽到 u = 0.37，指令是：從走廊最左邊開始掃沙，袋裡累積到 0.37 桶就停，你腳下那一點就是這次抽樣的結果。用符號寫就是 x = F⁻¹(0.37)。
抽到 0.5，停在掃到半桶沙的位置，即中位數（median）
抽到 0.95，已經走到走廊尾部（tail）
為什麼厚沙的地方自然會被抽中較多
假設走廊中間有一段只長 10 厘米，但沙極厚，佔全部沙的 50%；右邊另有一段長 10 米，沙很薄，只佔 5%。
u 是均勻的 (u 是由電腦在0 到 1 之間的 uniform random number），所以 u 落在「對應那 50% 沙」的範圍的機會就是 50%。換句話說，一半的抽樣會停在那 10 厘米之內；停在那 10 米薄沙段的抽樣，只有 5%。
對比一下抽卡：普通卡佔 0 至 0.9 這條長段，所以常抽中；稀有卡佔 0.9 至 1 這條短段，所以少抽中。走廊版本同一道理，只是「段」由卡的機率變成了沙量。厚沙段在 u 的世界裡佔一條長段，所以常被抽中。密度的形狀就是這樣被複製出來的。
實測
以 100 萬個 uniform 隨機數代入 x = −ln(1−u)，這是 exponential distribution（指數分佈）的 F⁻¹，即這個分佈的「反查公式」（式中的 ln 下一節會解釋）。理論上落在 x < 1 的比例應為 63.21%，實測 63.16%。
限制：這方法要求 F⁻¹ 寫得出一條式。常態分佈（normal distribution）寫不出，實務用數值反演（numerical inversion）或 Box-Muller 等方法代替，概念相同。
抽卡遊戲用一個 0 到 1 的隨機數切段派卡；inverse transform 是它的連續版，把
u讀成沙量、用 CDF 反查位置。這是 Monte Carlo 模擬的引擎。
練習 6 抽到 u = 0.5，代入 F⁻¹ 得到的數值一定是這個分佈的？
(a) 平均值（mean）
(b) 中位數（median）
(c) 眾數（mode，density 最高的點）
(d) 視乎分佈形狀，三者都有可能
答案：(b)。掃到半桶沙的位置，按定義就是 median。Mean 會被長尾巴拉開，mode 是沙最厚的一點；三者只有在對稱分佈才重合，所以「一定」只能選 (b)。
7. 換元（change of variables）：同一堆沙，兩把尺
量化分析常做單位轉換，股價轉 log price、P/E 轉 earnings yield、小數轉百分比。每次轉換，分佈的形狀都會跟著變。這一節講它怎樣變，順便為什麼股價分佈天生是歪的。
先用一個和金融無關的例子。100 萬人的身高資料，用厘米記錄時「169 至 170cm」這格有 6.62% 的人。改用英吋記錄（1 英吋 = 2.54 厘米），人一個都沒有多，但英吋尺上一格闊 2.54 厘米，等於舊尺兩格半，一格裝的人自然變成約 16.8%。
機率（人數）不變，density（每格的人數）變。 沙一粒沒有多沒有少，只是走廊被拉長或壓縮，每格的沙跟著變。寫成規則：
新厚度 ＝ 舊厚度 ÷ 格子拉闊的倍數
走廊拉長 3 倍，同一撮沙攤薄在 3 倍長的地上，厚度除以 3；壓縮一半，沙堆厚一倍，除以 0.5 等於乘 2。數學記法只是這句話的縮寫：
g(y) = p(x) / |dy/dx|p(x) 是舊厚度，g(y) 是新厚度，|dy/dx| 是拉闊倍數。
dy/dx 這個記號叫 derivative（導數），意思是換步率：在舊尺走一小步 dx，新尺跟著走了 dy，相除就是倍數。厘米轉英吋，倍數處處是 2.54。麻煩的尺是拉得不均勻的：左邊走一步它跟一步，右邊走一步它跟十步，這種尺的拉闊倍數要逐點問，導數隨位置改變就是這個原因。
ln 是什麼
下面要用 log，先重溫log 的概念。普通的尺走一步是加一個固定數：1、2、3、4。Log 的尺走一步是乘一個固定倍數：1、10、100、1000，這是以 10 為底的 log，每步乘 10，log₁₀(1000) = 3 讀作「由 1 到 1000 要走 3 步」。ln（natural log，自然對數）同一個道理，只是每步乘的不是 10 而是 e ≈ 2.718（一個數學上方便的常數，來歷可以不理）。ln S 讀作「在這把每步乘 2.718 的尺上，S 位於第幾步」。
普通尺量相差多少，log 尺量乘了多少倍。所以 log 尺天生是量百分比變化的尺，金融用它就是這個原因。
股價的例子
設 x = ln S，即在 log 尺上走到第 x 步時股價是 S。逐行讀：
左欄每次加 1，右欄每次乘 2.718。同樣走一步，股價早期只脹十幾元，後期脹近百元：log 尺上均勻的一步，在股價尺上越走越闊。
拉闊倍數是多少？等於股價 S 本身。不用微積分也看得出：log 尺量百分比，股價尺量錢，而「1% 值多少錢」和股價成正比，10 元股票的 1% 是 0.1 元，100 元股票的 1% 是 1 元。股價越高，同一個百分比換到的錢越多，格子拉得越闊。將x = ln S代入公式：
g(S) = p(ln S) / S由此有一個推論：如果 log return 的分佈左右對稱（symmetric），股價的分佈必然右偏（right-skewed），因為左邊被壓窄（沙堆厚）、右邊被拉開（沙攤薄），畫出來左高右拖尾。這是換尺造成的幾何效果，和市場樂觀與否無關。
換尺後機率不變，density 除以拉闊倍數；log 尺每步乘固定倍數，量的是百分比。
練習 7 回報數據原本以小數記錄（0.05），現改以百分比記錄（5），即 y = 100x。新尺上的 density 會？
(a) 乘 100
(b) 除以 100
(c) 不變，因為機率不變
(d) 視乎位置，有些地方乘、有些地方除
答案：(b)。格子拉闊 100 倍，沙攤薄 100 倍。(c) 混淆了機率和 density，不變的是機率；(d) 說的是拉得不均勻的尺，y = 100x 處處拉 100 倍。
所以，一兩只大贏家，住住就會扭轉命運。
8. 平均值與尺的選擇
基金廣告說「平均回報 8%」，買不買？自己組合的「平均 P/E 是 30」，貴不貴？兩個數字都可能錯超過三成，錯因相同：在錯的尺上取了平均。
平均 P/E
A 公司 P/E = 10，B 公司 P/E = 30，平均是什麼？是20嗎？(20＋10）/ 2 ＝20 嘛。錯！
P/E = 10 的意思是付 10 元買公司一年 1 元的盈利；倒轉讀是 earnings yield（盈利收益率），每 100 元一年賺 10 元。現在各投 100 元：A 賺 10 元，B 賺 3.33 元（1/30），合計 200 元賺 13.33 元，收益率 6.67%，換回 P/E 是 200 ÷ 13.33 = 15。
所以，答案是 15，不是 20 。
因為可以直接相加的是錢，P/E 這種倍數不能相加。「取倒數」正是上一節那種拉得不均勻的尺：P/E 由 10 到 12，yield 動了 1.67 個百分點；由 28 到 30，只動 0.24 個百分點。同樣走兩格，一邊動了七倍，高 P/E 那端被壓扁，直接平均就被它拉高。
「先轉成錢、平均、再轉回去」有個正式名稱，harmonic mean（調和平均數），指數編製機構計整體 P/E 用的就是它。
平均回報
基金第一年 +50%，第二年 −50%，廣告寫「平均回報 0%」，算術上沒錯。用錢走一次：100 元，第一年變 150 元，第二年剩 75 元。兩年虧 25%，折算成固定年率是每年約 −13.4%（0.866 × 0.866 ≈ 0.75）。
「0%」答每年那個百分比數字的平均；「−13.4%」答錢實際的年均變化。你的資產對應後者。
百分比（+50、−50）可以相加，但錢的路徑是連乘（×1.5、×0.5）。在相加的尺上平均一件連乘的事，波動越大錯得越多：
接回上一節：log 尺每走一步是乘一個倍數，所以連乘在 log 尺上剛好變成相加。量化研究普遍用 log return（對數回報），原因就是在 log 尺上取平均，複合效果自動計入，不會出現 0% 對 −13.4% 這種落差。
提醒：log return 跨時間可加，跨資產不可加，計組合（portfolio）單期回報要用簡單回報（simple return）加權。
可以相加的東西才可以取平均。P/E 先轉成錢，回報先認清是連乘；選對尺，再平均。
練習 8 組合內兩檔股票 P/E 分別為 12 和 48，各佔一半。哪個數字較接近組合的真實估值水平？
(a) 30（Arithmetic mean 算術平均）
(b) 24（Geometric mean幾何平均）
(c) 19.2（Harmonic mean 調和平均）
(d) 48（取較高者較保守）
答案：(c)。各投 100 元，賺 8.33 元（100/12）和 2.08 元（100/48），合計 200 元賺 10.42 元，P/E ≈ 19.2。算術平均 30 被高 P/E 那檔誇大了超過五成。
9. 在量化交易上的應用
Backtest：歷史只跑了一次，回測結果是一次 realization，不是策略的機率陳述。「過去五年年化 18%」是數據點，不是期望值（expected value）。
預測：點值沒有離散度，決定不了注碼和風險；有用的形式是區間加機率。
門檻設計：stop loss（止蝕／停損）、訊號線、風險限額，都是在分佈上切一刀，
F(門檻)給出觸發頻率的下限（期內觸及的機率更高，且隨持有期上升）。市場隱含機率：由價格反推的機率加總不為 1，先 normalize 再用。
模擬：Monte Carlo 生成任意分佈的路徑，引擎是第 6 節的 inverse transform。
回報計算：時間序列用 log return，組合加權用簡單回報；見到「平均回報」先問是 arithmetic 還是 geometric。
分佈本身也是由歷史那一次抽樣估出來的，未必更準。但點值只有對錯，分佈有形狀、有頻率，可以被檢驗（testable），這是改用分佈思考的實際好處。
10. 後記
由「找答案」變成「管理頻率」。散戶問「目標價是多少」，量化思維問「落在哪個區間的機率是多少」。這樣問之後，注碼、stop loss、加碼條件變成同一類決定：在分佈上切一刀，選一個自己接受的觸發頻率，而不是逐個猜的獨立數字。
對任何單一數字先問三條：
這是 realization 還是機率陳述？
這是點還是區間？
這是在哪一把尺上算的平均？
回測年化、目標價、廣告上的「平均回報」，大部分誤導都過不了這三關。
